Trong các bài toán vật lý, ta có thể gặp trường hợp ∂ L ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0} , có nghĩa là phiếm hàm là một hàm của f ( x ) {\displaystyle f(x)} và f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} nhưng không phải là một hàm tường minh của x {\displaystyle x} . Trong trường hợp đó, phương trình Lagrange Euler có thể được đơn giản hóa thành đồng nhất thức Beltrami [3]

L − f ′ ∂ L ∂ f ′ = C , {\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}

với C {\displaystyle C} là một hằng số. Vế trái là biến đổi Legendre của L {\displaystyle L} đối với f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} .